Pemodelan sistem kawalan menggunakan persamaan pembezaan adalah pendekatan asas dan kuat dalam bidang kejuruteraan kawalan. Sebagai pembekal sistem kawalan, saya telah menyaksikan secara langsung kepentingan teknik ini dalam merancang dan menganalisis pelbagai sistem kawalan. Dalam blog ini, saya akan berkongsi pandangan tentang cara memodelkan sistem kawalan menggunakan persamaan pembezaan, bersama -sama dengan contoh dan pertimbangan praktikal.
Memahami asas persamaan pembezaan dalam sistem kawalan
Persamaan pembezaan adalah alat matematik yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara fungsi dan derivatifnya. Dalam sistem kawalan, persamaan ini digunakan untuk mewakili tingkah laku dinamik sistem fizikal. Dengan merumuskan sistem kawalan sebagai satu set persamaan pembezaan, kita boleh menganalisis kestabilan, prestasi, dan tindak balas kepada input yang berbeza.
Jenis persamaan pembezaan yang paling biasa yang digunakan dalam sistem kawalan adalah persamaan pembezaan biasa (ODEs). Persamaan ini melibatkan fungsi pembolehubah bebas tunggal, biasanya masa. Sebagai contoh, pertimbangkan sistem mekanikal mudah yang terdiri daripada jisim yang dilampirkan pada musim bunga dan peredam. Gerakan jisim boleh diterangkan oleh perintah kedua - pesanan:
[m \ frac {d^{2} x} {dt^{2}}+c \ frac {dx} {dt}+kx = f (t)]
Di mana (m) adalah jisim, (c) adalah pekali redaman, (k) adalah pemalar musim bunga, (x) adalah anjakan jisim, dan (f (t)) adalah daya luaran yang digunakan untuk jisim.
Langkah -langkah untuk memodelkan sistem kawalan menggunakan persamaan pembezaan
Langkah 1: Kenal pasti komponen sistem
Langkah pertama dalam memodelkan sistem kawalan adalah untuk mengenal pasti komponen fizikal sistem. Ini termasuk sensor, penggerak, dan proses terkawal. Sebagai contoh, dalam sistem kawalan rumah pintar, komponen mungkin termasukSuis rumah pintar,Penerima radio luaran, danKawalan jauh RF genggam.
Langkah 2: Tentukan pembolehubah sistem
Sebaik sahaja komponen sistem dikenalpasti, langkah seterusnya adalah untuk menentukan pembolehubah sistem yang berkaitan. Pembolehubah ini boleh diklasifikasikan sebagai pembolehubah input, pembolehubah output, dan pembolehubah keadaan. Pembolehubah input adalah isyarat yang digunakan untuk sistem, seperti isyarat kawalan dari kawalan jauh. Pembolehubah output adalah isyarat yang mewakili tindak balas sistem, seperti status suis pintar. Pembolehubah negeri adalah pembolehubah dalaman yang menggambarkan keadaan sistem, seperti kedudukan komponen mekanikal.
Langkah 3: Gunakan undang -undang fizikal
Selepas menentukan pembolehubah sistem, kita perlu menggunakan undang -undang fizikal yang sesuai untuk menggambarkan tingkah laku setiap komponen. Untuk sistem elektrik, kita boleh menggunakan undang -undang Kirchhoff; untuk sistem mekanikal, undang -undang Newton; dan untuk sistem terma, undang -undang termodinamik. Sebagai contoh, dalam litar elektrik, undang -undang voltan Kirchhoff menyatakan bahawa jumlah voltan di sekitar gelung tertutup adalah sifar.
Langkah 4: Tulis persamaan pembezaan
Berdasarkan undang -undang fizikal dan hubungan antara pembolehubah sistem, kita boleh menulis persamaan pembezaan yang menggambarkan tingkah laku sistem kawalan. Persamaan ini mungkin linear atau tidak linear, bergantung kepada sifat sistem. Dalam banyak kes, kita dapat menyebarkan persamaan tak linear di sekitar titik operasi untuk memudahkan analisis.
Langkah 5: Menganalisis model
Sebaik sahaja persamaan pembezaan ditulis, kita boleh menganalisis model untuk memahami tingkah laku sistem. Ini termasuk menentukan kestabilan sistem, mencari fungsi pemindahan, dan menganalisis tindak balas sistem kepada input yang berbeza. Terdapat pelbagai kaedah analisis dan berangka yang tersedia untuk tujuan ini, seperti transformasi Laplace, analisis kekerapan - domain, dan simulasi berangka.
Contoh: Memodelkan sistem kawalan suhu
Mari kita pertimbangkan sistem kawalan suhu yang mudah untuk bilik. Sistem ini terdiri daripada pemanas, sensor suhu, dan pengawal. Matlamat sistem ini adalah untuk mengekalkan suhu bilik pada setpoint yang dikehendaki.
Langkah 1: Kenal pasti komponen sistem
- Pemanas: Penggerak yang menyediakan haba ke bilik.
- Sensor suhu: Sensor yang mengukur suhu bilik.
- Pengawal: Peranti yang membandingkan suhu yang diukur dengan setpoint dan menyesuaikan output pemanas dengan sewajarnya.
Langkah 2: Tentukan pembolehubah sistem
- Pembolehubah input: suhu setpoint (t_ {set}).
- Pembolehubah output: Suhu bilik (t (t)).
- Pembolehubah Negeri: Tenaga haba yang disimpan di dalam bilik (q (t)).
Langkah 3: Gunakan undang -undang fizikal
Kadar perubahan tenaga haba di dalam bilik diberikan oleh persamaan berikut:
[\ Fran {dq} {dt} = p - ha (t - t_ {with})]
Di mana (p) adalah input kuasa dari pemanas, (h) adalah pekali pemindahan haba, (a) adalah kawasan permukaan bilik, dan (t_ {amb}) adalah suhu ambien.
Hubungan antara tenaga haba dan suhu diberikan oleh:
[Q = mc_ {p} t]
Di mana (m) adalah jisim udara di dalam bilik dan (c_ {p}) adalah kapasiti haba tertentu udara.
Langkah 4: Tulis persamaan pembezaan
Membezakan (q = mc_ {p} t) berkenaan dengan masa, kita dapat:
[\ frac {dq} {dt} = mc_ {p} \ frac {dt} {dt}]
Penggantian (\ frac {dq} {dt}) Dalam persamaan keseimbangan haba, kita dapatkan:
[mc_ {p} \ fraud {dt} {dt} = p - ha (t - t_ {amb})]]
Ini adalah persamaan pembezaan linear pertama yang menggambarkan tingkah laku sistem kawalan suhu.
Langkah 5: Menganalisis model
Kita boleh menganalisis model untuk menentukan kestabilan sistem dan tindak balas kepada input yang berbeza. Sebagai contoh, kita dapat mencari fungsi pemindahan sistem dengan mengambil transformasi Laplace persamaan pembezaan. Fungsi pemindahan mengaitkan output (suhu bilik) ke input (kuasa pemanas).
Pertimbangan dalam sistem kawalan pemodelan
- Penyederhanaan model: Dalam banyak kes, sistem sebenar mungkin sangat rumit, dan mungkin diperlukan untuk mempermudahkan model untuk menjadikannya lebih mudah. Ini boleh melibatkan mengabaikan komponen tertentu atau mengandaikan tingkah laku linear.
- Anggaran parameter: Parameter dalam persamaan pembezaan, seperti jisim, pekali redaman, dan pekali pemindahan haba, perlu dianggarkan dengan tepat. Ini boleh dilakukan melalui data eksperimen atau dengan menggunakan pengetahuan sebelumnya tentang sistem.
- Nonlinearities: Sistem kawalan dunia sebenar sering menunjukkan tingkah laku tak linear. Walaupun model linear lebih mudah untuk dianalisis, adalah penting untuk mempertimbangkan kesan -kesan tidak linear pada prestasi sistem.
Kesimpulan
Pemodelan sistem kawalan menggunakan persamaan pembezaan adalah langkah penting dalam reka bentuk dan analisis sistem kawalan. Dengan mengikuti langkah -langkah yang digariskan dalam blog ini dan mempertimbangkan aspek praktikal, kita dapat membangunkan model yang tepat yang membantu kita memahami tingkah laku sistem dan reka bentuk strategi kawalan berkesan.
Jika anda berminat untuk membeli sistem kawalan atau mempunyai sebarang pertanyaan mengenai pemodelan dan reka bentuk, kami berada di sini untuk membantu anda. Hubungi kami untuk perbincangan terperinci dan untuk meneroka penyelesaian terbaik untuk keperluan khusus anda.
Rujukan
- Ogata, K. (2010). Kejuruteraan Kawalan Moden. Prentice Hall.
- Dorf, RC, & Bishop, RH (2017). Sistem kawalan moden. Pearson.